【抽象代数】商环的结构

2025-04-06 21:16:01

1、给定环R的一个元素a,那么a与理想I的元素相加,得到一个陪集,记为a'=a+I。这个集合里面的元素b的特点是,存在I的某个元素i,使得a=b+i。

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2、两个不同的陪集是互不相交的。假设a'和b'是两个不同的陪集,表示对a'的元素a和b'的元素b,a-b不属于I。

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3、这样,环R被划分为互不相交的一些陪集,把这些陪集的集合记为R/I。这个集合关于加法封闭。这是因为如果a和b属于R,那么a+b也属于R。

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4、进一步指出,R/I是一个加法群,也就是说对于任意元素a',存在另一个元素b',使得a'+b'=0+I。这是显然的,因为元素a存在加刮茕栓双法逆-a,所以,b'=-a+I就是a'的加法逆元。

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5、R/I的乘法定义为:a'*b'=ab+I注意,a是a&拭貉强跳#39;的代表元,b是b'的代表元,那么ab就是a'*b'的代表元。

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6、可以证明,R/I的上述乘法满足结合律。

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