连续函数在闭区间上的最大最小值定理证明。

闭区间上的连续函数，激默芡食必然有最大值和最小值。这是有定理的。开区间（含半开区间）上的连续函数就不一定有最大值和最小值了。区间内的非连续函数也不一定有最大值和最小值。

函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。

对于这种现象，说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

扩展资料

闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。

证明：利用有限覆盖定理：如果H是闭区间[a,b]的一个无限开覆盖，那么能从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]。详细证法参考相应词条。

参考资料来源：百度百科-连续函数