高三数学解析攻略,让数学简单化
1、法1 裂项放缩 除了一般的裂项法,有一些裂项需要很强的眼力才能观察出来,比如下题。大家可以做的就是多积累此类可裂项的式子,在类似的式子变形的时候也能一眼看穿。
2、给出最后一条的证明纠正:合比性质应改为等比性质
3、法2 单调放缩 观察式子是否具有单调性,可直接放缩为首项
4、法2补充例题,解法基本一样补充:a1=1
5、法3 放缩为等比数列 一般通项特点是分子为常数,分母为指数项和一次项的和或差,此时常常将分母放缩为仅有一个指数项,有时需要改变幂,有时需要配凑一个系数,这些都需要你的数学功底。
6、法4.分式放缩 这是一道非常经典的放缩题,高考不会出原题,但其中的思想十分值得借鉴。比如解答中使用的分式不等式,以及先平方再放缩一部分,保留一部分的解法。变式题有时可以出现三次方的处理。
7、法5 用基本不等式放缩这里的基本不等式,并不指放缩为常数,而是放缩为一个代数式。往往用于处理带根号的式子,通过放缩可达到去根号的效果,大大简化运算。不仅用于一般的放缩证明,也在大题中发挥着作用,是一种非常好的解题技巧。纠正:解答第一行应该为根号下n(n+1)
8、法6 作差(作商)裂项 这是一个非常强大的方法,当放缩的目标式是含n的代数式而不是常数时,都可考虑这个方法。 若视目标式为数列的和,通过目标式相邻项作差,可得到该数列的通项公式,实际上就将目标式裂项成了多个通项的和,此时,就只需要证明原式通项与目标式通项的大小,将题目简化。 由于数学教辅都被我扔了或送了,我找了很久例题没有满意的,就稍稍引用了一下高一期末题和一道周练题来解释。
9、法7 连续放缩法 名字是乱起的。这是一个非常奇妙的解法,连续放缩直到首项,得到一个不含通项的式子。常常与抽象数列(已知递推式但难以求解的数列)结合考察,如下题。 我记得我还做过一个通项an出现在分母,分子为1的连续放缩题,可惜未能找出。纠正:结果应为2的n次方
10、法8 配对放缩 这次找了一个难度比较大的例鞑民略锈题,拐的弯太多,大家可以看看我的分析。 配对通常将第一项和最后一项、第二项和倒数第二项...依此类推,合并在一起来进行处理,有时会吹涡皋陕用到基本不等式。 先看这道例题,左边是加法,右边是乘积,用配对如何放缩呢? 一个想法是,各两项放缩成一堆数的加法,然后这些数可以前后抵消!右边的式子,非常明显,分子就是通项为f(n)-f(n+1)的和,那么,我们就要考虑放缩为这个形式了。 当我们把对应两项配对后,尝试着统一一下格式,也就是将两式通分。稍微观察一下就会发现分母各不相同,这样肯定是没法加起来的,所以我们看看能不能暴力地将它们统一,也就是全部放缩为ln2lnn,以达到和右式一样的格式。 (运用放缩法时,有时你需要尽可能猜测一些有利于得出答案的放缩形式,也就是从结果推原因,至于是否成立,验证就好,不成立就放弃这个猜想。这样能更快地找对方向,干盯着左边的式子往往很难突破。) 事实证明,以上猜想是可行的,我们需要证明一下,所以答案前面的一堆废话就是在用导数证明了,到了红笔画出的才是我们想要得到的不等式。 得到我们想要的不等式的证明,用的也是非常好也非常常用的技巧,也就是构造函数,利用单调性来证明,大家留意一下这个格式,以后可能能用上的。
11、做到这一步,得到的式子已经非常漂亮了,可惜还不够。为什献垴淄睬么说这是难题?就是因为它的步骤非常复杂,很多人就算走对了方向也容易在中途放弃。 当然这个时观锻娜叼候离答案已经不远了,我们只需要证明我们得到的这些数字小于右式。 我们注意到题目给出了一个已经不等式,把x2x1替换掉就能得到一个f(n+1)-f(n)的式子,这个在做抽象函数题目时经常用到,应该比较容易想到。 这样看来,我们的问题解决了,答案基本出来了。 我们再思考一下。 从头到尾,整道题并没有用非常高端的解法,都是我们常见的小技巧,比如:配对、统一格式、作差裂项(通过作差将一个式子转化为多个式子的和,前面有介绍)、构造函数利用单调性等等。 所以我们平时做的就是尽可能积累并且熟练这些技巧,至于你用的如何,确实需要看你对数学的悟性了,难度就在于你思维方向的把握是正确,不过熟能生巧也不是没有道理的,再好的思维都要建立在你熟练的基础上,有人叫你多刷题就是这个道理。放缩法还有很多的,二项式放缩、积分放缩、分组放缩、切线放缩等等,这些考试用的比较少,所以就不介绍了,我已经把名字列出来了,大家有兴趣可以到网上搜。一个附件:经典放缩式