x^2+y^2=35,多种方法计算x+y和xy的最值

1、x^2+(k-x)^2=35x^2+k^2-2kx+x^2=352x^2-2kx+k^2-35=0判别式△=4k^2-8(k^2-35)≥0-4k^2≥-8*35k^2≤70，即：-√70≤k≤√70.所以x+y的最大值为√70，最大值为-√70。

2、由x^2+y^2=35，设x=√35cost，y=√35sint，则：x+y=√35cost+√35sint=√70(sint+π/4).当(sint+π/4)=1时，x+y有最大值=√70；当(sint+π/4)=-1时，x+y有最小值=-√70；

3、∵x^2+y^2≥[(x+y)^2]/2∴(x+y)^2≤2(x^2+y^2)即：(x+y)^2≤70，则：-√70≤x+y≤√70.此时x+y的最小值=-√70，最大值=√70。

4、直接根据已知条件，替换y，得到关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。xy=x√(35-x^2)=±√[x^2(泌驾台佐35-x^2)]=±√[(35^2/4)-(x^4-35x^2+35^2/4)]=±√[(35^2/4)-(x^2-35/2)^2].则xy的最大值为35/2,最小值为-35/2.

5、换元法，设xy=p，得到y=p/x,代入已知条件关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。x^2+y^2=35x^2+p^2/x^2=35x^4-35x^2+p^2=0判别式△=35^2-4p^2≥0,即：p^2≤35^2/4-35/2≤p≤35/2此时得xy=p的最大值=35/2，最小值=-35/2.

6、三角换元法，将xy表莲镘拎扇示成三角函数，进而得xy的取值范围。由x^2+y^2=35，设x=√35cost，y=√35sint，则：xy=√35cost*√泌驾台佐35sint=35*(1/2)sin2t=(35/2)sin2t当sin2t=1时，x+y有最大值=35/2；当sin2t=-1时，x+y有最小值=-35/2.

7、∵x^2+y^2≥2√(x^2*y^2)=2|xy|∴|xy|≤(x^2+y^2)/2=35/2即：-35/2≤xy≤35/2.则xy最大值为35/2,最小值为-35/2.