网络画板“仿射变换”功能的探索

网络画板有许多有趣的特性值得我们去发掘！其中一项，就是几何变换里面的“仿射变换”。 只不过，由于相关内容的介绍少了点，所以，我决心在这里做一番探索。

工具/原料

电脑

网络画板网页

互联网

圆的仿射变换

1、 先尝试对一个圆进行仿射变换。 在网络画板里面画一个圆，要榨施氅汝求这个圆半径小一点，且尽量靠近原点（因为这里的仿射变换是针对点的坐标愉桴狁焕进行的）； 选中这个圆，点击“仿射变换”选项； 把参数设置为a1=2，b2=1，b1、x0、a2、y0都设置为0； 确定。

2、 这其实是把圆的每个点的横坐标变为原先的2倍，而纵坐标保持不变！ 即：x'=2x，y'=y。 因此，圆距离原点越远，变换出来的椭圆就会更远！

3、 椭圆到圆的仿射变换，令x'=x/2，y'=y。 可以看到： 椭圆的中心变芤晟踔肿成圆的中心； 椭圆的焦点却不是圆的焦点（圆心），而是另外两点，说明仿射变换之下，“线段长度”发生了变化。

三角形仿射变换

1、 作三角形，并选中三角形的三个顶点和三条边； 点击“仿射变换”选项； 设置参数，令x'=0.5x+y+0.2，y'=1.3x+2y-0.6； 确定。

2、 尝试去拖动三角形的各个顶点，变换对象也会随之运动！

3、 作出原三角形的外接圆，看看这个圆的仿射变换是什么模样？ 奇怪的是，虽然得到一个椭圆，但这个椭圆却不是变换出来的三角形的外接椭圆。不明白了！ 这好像是个BUG！

几何对象的仿射变换

1、 我个人感觉，用坐标来量化“仿射变换”的参数，有时候是不太方便的！ 比如，我们要作某个三角形的最大面积的内切椭圆的时候，不容易确定相应的仿射变换的参数！

2、 先作出两个三角形ABC和A'B'C'，怎么实现三角形ABC到三角形A'B'C'的仿射变换？

3、 求出A、B、C和A'、B'、C'的坐标： 把鼠标光标放到B'上，点击鼠标右键，选择“坐标”选项，出来的就是它的坐标！

4、 把A、B、C和A'、B'、C'的坐标的坐标带入方程组里面，得到一个六元一次方程组，未知数是a1,a2,b1,b2,x0,y0。

5、 大家发挥实力，借这个方程组。我就用Mathematica代劳了：NSolve[{3.16==13.96 a1+11.51 b1+x0,10.31==13.96 a2+11.51 b2+y0,5.84==9.82 a1+8.35 b1+x0,5.25==9.82 a2+11.51 b2+y0,11.16==15.78 a1+8.47 b1+x0,6.75==15.78 a2+6.75 b2+y0 },{a1,b1,x0,a2,b2,y0}] 结果答案是：a1=0.93434b1=-2.0722x0=13.9677a2=1.22222b2=1.21522y0=-20.7394

6、 选择整个三角形ABC，把诸参数带入到仿射变换对话框里面，点击“确定”，结果得到图中的另一个三角形，误差很大。这大概是求值误差导致的！ 注意，此过程中不要改变三角形ABC的位置！

7、 再来看看三角形ABC的内切圆和外接圆在同一个仿射变换下，会发生什么变化！ 作出三角形ABC的内切圆、外接圆； 选择这两个圆，作仿射变换； 结果剧安颌儿如图！看来，网络画板的仿射变换功能还很不成熟！ 不过，有一个发现：网络画板的仿射变换，原图和变换图的颜色、线型等属性是一样的！红色对应红色，绿色对应绿色！

正三角形的仿射变换

1、正三角形、内切圆、外接圆的仿射变换对应的是三角形以及它的面积最大的内切椭圆和面积最小的外接椭圆！