矩阵与其转置的矩阵积是一个半正定矩阵

1、先构造随机的5*7的矩阵。A = RandomInteger[{-5, 5}, {5, 7}];

2、A与A的转置的积是一个5*5的矩阵：A.Transpose[A]

3、PositiveSemidefiniteMatrixQ可以实现半正定矩阵的判定：PositiveSemidefiniteMatrixQ[A.Transpose[A]]

4、证明，矩阵A.Transpose[A觥终柯计]所确定的二次型，都是非负数：p = {a, b, c, d, e};q = FullSimplify[p.A.Transpose[A].p];Redu艘早祓胂ce[ForAll[{a, b, c, d, e}, Element[{a, b, c, d, e}, Reals], q >= 0]]

5、如果A是2*n的矩阵，那么，A.Transpose[A]是2*2的矩阵，对应的二次型可以确定一个二次曲面：p = {x, y}稆糨孝汶;Plot3D[p.A.A.Transpose[A].p, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]整个图形，都在xoy平面上面，也就说明，没有小于0的可能。

6、特别指出，A.A.Transpose[A]未必是正定矩阵：