数列前n项的和，公式自己推导，轻松方便记牢

、学知识，我们都希望原理清楚，知道公式定理是怎么得来的，正如平面图形的面积公式、立体图形的体积公式，记起来又轻松又牢固。 中学数学的数列知识，讲到了十几个常用数列，可是这些数列，几乎大多都看不出，前 n 项和的公式是怎么得到的，前 n 项和的公式记起来就相当麻烦了，怎么办呢？ 告诉大家，我找到规律，这些数列和，都与连续数字的乘积有关，我们一起看看吧，自己动手把公式推导出来，记起来肯定就轻松方便了。 让我们在原料堆里面，先把这些常用数列分成几大类吧。

工具/原料

、等差数列，规律明显，最简单了 1+ 2+ 3+ 4 +……+ n = n(n+1)/2 2+ 4+ 6+ 8 +……+ 2n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ 7 +……+ 2n-1 = n"

、二次方的数列，至少两个 1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 +……+ n" = n(n+1)(2n+1)/6 1X1 + 3X3 + 5X5 + 7X7 +……+ (2n-1)" = n(4n" -1)/3

、三次方的数列，也至少两个 1X1X1 + 2X2X2 + 3X3X3 + 4X4X4 +……+ n^3 = [ n(n+1)/2 ]" 1X1X1 + 3X3X3 + 5X5X5 + 7X7X7 +……+ (2n-1)^3 = n"(2n" -1)

、连续数字乘积的数列 1+ 3+ 6+ 10 +……+ n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6 1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 +……+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 + 4X5X6 +……+ n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4

、连续数字乘积变成倒数的数列 1/(1X2) + 1/(2X3) + 1/(3X4) + 1/(4X5) +……+ 1/n(n+1) = n/(n+1) 1/(1X2X3) + 1/(2X3X4) + 1/(3X4X5) +……+ 1/n(n+1)(n+2) = (1/2)[ 1/2 - 1/(n+1)(n+2) ]

连续数字乘积的数列，究竟有什么规律

1、1X2 + 2X3 + 3X4 +……+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 连续两个数栓疠瑕愤字乘积的数列，通项是 n(n+1) ，为什么前 n 项的和是 n(n+1)(n+2)/3 呢？ 让我们取数列的前三项，算一算吧 1X2 + 2X3 + 3X4 = 1X2X3/3 + 2X3X3/3 + 3X4X3/3 = [ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) ] / 3 = [ 1X2X3 - 1X2X3 + 2X3X4 - 2X3X4 + 3X4X5 ] / 3 = 3 X 4 X 5 / 3 哦，数列前 n 项的和 n(n+1)(n+2)/3 ，原来是这样得到的 连续两个数字乘积的数列，第一项是 1X2 ，乘以 3 变成 1X2X3 ，就是连续三个数字的乘积，整个数列都乘以 3 和 1/3 ，就可以确保计算结果不变； 后面各项的 n(n+1) 乘以 3 之后，都可以变成 n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1) 的相差数； 后一项分开的 (n-1)n(n+1) ，都正好与前一项分开的 n(n+1)(n+2) 相互抵消，只剩下最后一项分开的 n(n+1)(n+2)，最终结果就是 n(n+1)(n+2)/3

2、1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 +……+ n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4 连续三个数字乘积的数列，前 n 项的和是 n(n+1)(n+2)(n+3)/4 ，方法也是这样吧 1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 = [ 1X2X3X4 + 2X3X4X(5-1) + 3X4X5X(6-3) ] / 4 = 3 X 4 X 5 X 6 / 4 没错，前 n 项的和 n(n+1)(n+2)(n+3)/4 ，也是这样得来的

3、1+ 3+ 6+ 10 +……+ n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6 这就是把连续两个数字乘积的数列除以 2，不用再说了 要知道，这个数列的通项式 n(n+1)/2 ，也正是自然数列的前 n 项和的公式 如果从上往下，物体顶上第一层 1 个，第二层摆成 1+2 ，第三层摆成 1+2+3 ，第四层摆成 1+2+3+4 ……像台阶或正四面体的形状，计算总数量时，就会用到这个公式。 1 + 3 + 6 + 10 = 1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = [ 1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 ] / 2 = [ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) + 4X5X(6-3) ] / 6 = 4 X 5 X 6 / 6 数列通项是 n(n+1)/2 ，前 n 项的和就是 n(n+1)(n+2)/6

连续数字的乘积变成倒数，又是怎么回事

1、1/2 + 1/6 + 1/12 +……+ 1/n(n+1) = n/(n+1) 连续两个数字的乘积，在数列通项中变成倒数，也是大同小异的算法吗 1/(1X2) + 1/(2X3) + 1/(3X4) = (2-1)/(1X2) + (3-2)/(2X3) + (4-3)/(3X4) = 2/(1X2) - 1/(1X2) + 3/(2X3) - 2/(2X3) + 4/(3X4) - 3/(3X4) = 1 -1/2 + 1/2 -1/3 + 1/3 -1/4 = 1 -1/4 = 3 / 4 = 3 / (3+1) 数列通项是 1/n(n+1)，前 n 项的和就是 n/(n+1)

2、1/6 + 1/24 + 1/60 +……+ 1/n(n+1)(n+2) = [ 1/2 - 1/(n+1)(n+2) ] / 2 在数列通项中，连续三个数字的乘积变成倒数，方法也是这样 1/(1X2X3) + 1/(2X3X4) + 1/(3X4X5) = [ (3-1)/(1X2X3) + (4-2)/(2X3X4) + (5-3)/(3X4X5) ] / 2 = [ 1/(1X2) - 1/(2X3) + 1/(2X3) - 1/(3X4) + 1/(3X4) - 1/(4X5) ] / 2 = [ 1/(1X2) - 1/(4X5) ] / 2 = [ 1/2 - 1/(3+1)(3+2) ] / 2 数列通项是 1/n(n+1)(n+2)，前 n 项的和就是 [ 1/2 - 1/(n+1)(n+2) ] / 2

回到最简单的，等差数列也这样算一算

1、自然数的数列，1+ 2+ 3+ 4 +……+ n = n(n+1)/2 这个 n(n陴鲰芹茯+1)/2，等差数列说，是最大项加最小项的和，乘以项数以后，去掉重复除以2； 我就觉得，这个 n烫喇霰嘴(n+1)/2，并非像梯形面积 (a+b) h / 2 那样，或许就是为了变成连续数字的乘积，让我们取数列前四项算算吧 1 + 2 + 3 + 4 = [ 1X2 + 2X2 + 3X2 + 4X2 ] / 2 = [ 1X2 + 2X(3-1) + 3X(4-2) + 4X(5-3) ] / 2 = 4 X 5 / 2 = 4 X (4+1) / 2 看出来了，数列第一项是 1，变成连续数字的乘积就是 1X2，计算前 n 项的和，就要把整个数列乘以 2 和倒数 1/2 ，确保和不变； 后面各项再把 2 变成 n(n +1) - n(n -1) ，后一项的 n(n -1) 也都与前一项的 n(n +1) 相互抵消，只剩下最后一项的 n(n + 1) ，结果最终就是 n(n+1)/2

2、偶数的数列，2+ 4+ 6+ 8 +……+ 2n = n(n+1) 偶数的数列就是自然数列的 2 倍，那么直接把 2 变成一对对相差数就行了 1X2 + 2X2 + 3X2 + 4X2 = 1X2 + 2X(3-1) + 3X(4-2) + 4X(5-3) = 4 X 5 = 4 X (4+1) 数列通项是 2n，前 n 项的和就是 n(n+1)

3、奇数的数列，1+ 3+ 5+ 7 +……+ 2n-1 = n" 奇数的数列，每一项都比偶数小 1，算起来就一样 1 + 3 + 5 + 7 = 1X2 -1 + 2X2 -1 + 3X2 -1 + 4X2 -1 = 4X5 - 4X1 = 4 X 4 数列通项是 2n-1，前 n 项的和就是 n"

二次方的数列，再这样算一算

1、1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 +……+ n" = n(n+1)(2n+1)/6 自然数二次方的数列，我们取前四项，变成连续数字的乘积看看 1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 = 1X(2-1) + 2X(3-1) + 3X(4-1) + 4X(5-1) = 1X2 -1 + 2X3 -2 + 3X4 -3 + 4X5 -4 = [ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) + 4X5X(6-3) ] /3 -(1+ 2+ 3+ 4) = 4X5X6 /3 - 4X5 /2 还原字母，算出公式 = n(n+1)(n+2)/3 - n(n+1)/2 = n(n + 1)[ 2(n+2) /6 - 3/6 ] = n(n + 1)[ 2n + 4 - 3 ]/6 = n(n + 1)(2n + 1)/6 通项是 n" ，前 n 项的和是 n(n + 1)(2n + 1)/6 ，公式可以这样算出来

2、1X1 + 3X3 + 5X5 + 7X7 +……+ (2n-1)" = n(4n" -1)/3 奇数二次方的数列，再取前三项，变成连续数字的乘积算一算 1X1 + 3X3 + 5X5 = 1 + 3X(1+2) + 5X(2+3) = [ 1X2 + (2+4)X3 + (4+6)X5 ] / 2 = [ 1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 + 5X6 ] / 2 = [ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) + 4X5X(6-3) + 5X6X(7-4) ] / 6 = 5 X 6 X 7 / 6 还原字母，算出公式 = (2n -1)(2n)(2n +1)/6 = n(4n" -1)/3 通项是 (2n -1)" ，前 n 项的和 n(4n" - 1)/6 ，原来有这样的联系

三次方的数列，还是这样算一算

1、1X1X1 + 2X2X2 + 3X3X3 + 4X4X4 +……+ n^3 = [ n(n+1)/2 ]" 自然数三次方的数列，变成连续数字乘积的数列应该更方便，瞧 5 X 5 X 5 = 5X( 5" - 1" + 1) = 5X(5 - 1)(5 + 1) + 5 X 1 = 4X5X6 + 5 数列我们就取前四项算算看吧 1X1X1 + 2X2X2 + 3X3X3 + 4X4X4 = 1+ 2+ 3+ 4+ 1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 = 4X5 /2 + [ 1X2X3X4 + 2X3X4X(5-1) + 3X4X5X(6-2) ] / 4 = 4X5 /2 + 3X4X5X6 /4 还原字母，算出公式 = n(n + 1)/2 + (n-1)n(n+1)(n+2)/4 = n(n + 1)[ 2/4 + (n-1)(n+2)/4 ] = n(n + 1)[ 2 + n" + 2n - n - 2 ] / 4 = n(n + 1)(n" + n) / 4 = [ n (n + 1) / 2 ]" 数列的通项是 n^3 ，前n项和就是 [ n(n+1)/2 ]" 其实 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 9 + 27 + 64 + 125 = 36 + 64 + 125 = 100 + 125 = 225 这个数列只要把前几项像这样耐心地加一遍，我们就会发现，1、9、36、100、225 这几个前n项的和，也正好是 1、3、6、10、15……n(n+1)/2 的二次方。

2、1X1X1 + 3X3X3 + 5X5X5 + 7X7X7 +……+ (2n-1)^3 = n"(2荏鱿胫协n" -1) 奇数三次方的数列，我们还是取前四项，变成连续数字的乘积算一算 1X1X1 + 3X3X3 + 5X5X5 + 7X7X7 = 1+ 3+ 5+ 7 + 2X3X4 + 4X5X6 + 6X7X8 = 4X4 + 2X1X3X2X2 + 2X2X5X3X2 + 2X3X7X4X2 = 4X4 + 4X1X2X3 + 4X2X3X(1+4) + 4X3X4X(2+5) = 4X4 + 4X1X2X3 + 4X1X2X3 + 4X2X3X4 + 4X2X3X4 + 4X3X4X5 = 4X4 + [1X2X3X4]X2 + [2X3X4X(5-1)]X2 + 3X4X5X(6-2) = 4X4 + (2X3X4X5)X2 - 2X3X4X5 + 3X4X5X6 = 4X4 + 2X3X4X5 + 3X4X5X6 还原字母，算出公式 = n" + (n-2)(n-1)n(n+1) + (n-1)n(n+1)(n+2) = n" + n(n" -1)[ (n - 2) + (n + 2) ] = n" + n(n" -1)(2n) = n" + n"(2n" - 2) = n"(2n" - 2 + 1) = n"(2n" - 1) 数列的通项是 (2n-1)^3，前n项和就是 n"(2n"-1)