limx→0,(1+x)^1/x=e 为什么

将重要极限limx→莞貔夜邢∞（1＋1/x）^x=e为推广形式limx→∞（1＋u（x）^v（x）（u（x）→的0,v（x）→∞极限

lim x→∞,(1+x)^(1/x)

=lim x→∞,e^[ln((1+x)^(1/x))]

=lim x→∞,e^[(1/x)×ln(1+x)]

其中e的指数部分lim x→∞,(1/x)×ln(1+x)

=lim x→∞,[ln(1+x)]/x ∞/∞型，

使用洛必达法则，上下同时求导，得到 lim x→∞,[1/(1+x)]/1=0

所以e的指数部分极限是0。

原式=limx->0(e^x/x - 1/x)

=limx->0(e^x - 1)/x

=1

扩展资料

举例：

limx→0[(1+x)^1/x-e]/x

原极限=lim(x→0) [(1+x)^1/x-e]/x

=lim(x→0) e*{e^[(ln(x+1)/x-1]-1}/x （把分子前面一项表示成指数形式,并分子提取公因式e）

=lim(x→0) e*[ln(x+1)-x]/x^2 （x→0时,有e^x-1~x）

=-e/2。