【微分几何】用Mathematica来判断中心对称图形

1、根据图像，初步猜测对称中心是{0,1}点。为此，加以验证：Solve[{r[t] =屏顿幂垂= {0, 1}, 0 < t &造婷用痃lt; 2 Pi}, t] // FullSimplify得到两个解，这说明{0,1}点是曲线的自交点，因此，如果曲线是中心对称图形，那对称中心必定是这个点。

2、再来计算曲线的最顶点和最低点：r[t] /. Solve[{r[t][[1]] == 0, 0 <= t <= 2 Pi}, t] // FullSimplify // Union

3、最低点是{0, 1 - Sqrt[2]}，最顶点是{0, 1 + Sqrt[2]}，其中点恰好是{0,1}点。

4、在曲线上绘制点r[Pi/2]：

5、再绘制r[Pi/2]点关于{0,1}点的对称点，看是不是仍旧在曲线上：

6、要证明r[Pi/2]点关于{0,1}点的对称点在曲线上，可以通过解方程实现：Solve[r[t] == {0, 1}忮氽阝另*2 - r[Pi/2] && 0 <= t <= 2 Pi, t]不管结果多复杂，只要有解，即为明证。

7、对于任意点r[u]，考察其关于{0,1}点的对称点，敛财醣沁并仿照上面的方法，解方程：Solve[r[t] == {0, 1}*2 - r[u], t] // Simplify这个方弛贾班隧程有解，就表示这个图形是中心对称图形，对称中心是{0,1}点。

8、作出解的图像：