想学好数学的同学转（知识点5）
1、1. 计数原理 （约14课时） （1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理 总结分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。 （2）排列与组合 理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。 （3）二项式定理 能用计数原理证明二项式定理（参见例1）；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。2. 统计与概率 （约22课时） （1）概率 ①在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。 ②通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用（参见例2）。 ③在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题（参见例3）。 ④理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题（参见例4）。 ⑤借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 （2）统计案例 ①通过对 “肺癌与吸烟有关吗”的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。 ②通过对 “质量控制”“新药是否有效”的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用（参见选修1－2案例中的例1）。 ③通过对 “昆虫分类”的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及其初步应用。 ④通过对 “人的体重与身高的关系”的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。 参考案例 例1. 二项式定理的证明。 是n个 相乘，每个 在相乘时，有两种选择，选a或b，由分步计数原理可知展开式共有 项（包括同类项），其中每一项都是的形式，0，1，……，n；对于每一项 ，它是由k个 选了a， 个 选了b得到的，它出现的次数相当于从n个中取k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。 例2.高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏。在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个球，摸到4个红球的就中一等奖。求获一等奖的概率。 从30个球中摸出5个球的组合数为： ；那么， 如果令X表示摸出红球的个数，则X服从N＝30，M＝5，n＝10，m＝4的超几何分布，那么 例3. 将一枚均匀硬币随机掷100次，相当于重复做了100次试验，每次有两个可能的结果（出现正面，不出现正面），出现正面的概率为 。 如果令X为硬币正面出现的次数，则X服从 的二项分布，那么 由此可以得到：“随机掷100次硬币正好出现50次正面”的概率为 在学习概率时会有一种误解，认为既然出现正面的概率为 ，那么掷100次硬币出现50次正面是必然的，或者这个事件发生的概率应该很大。但计算表明这概率只有8%左右。 例4. 据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01。设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案。 方案1：运走设备，此时需花费3800元。 方案2：建一保护围墙，需花费2000元。但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元。 方案3：不采取措施，希望不发生洪水。此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元。试比较哪一种方案好。
2、1. 早期算术与几何——计数与测量 ◆纸草书中记录的数学（古代埃及）。 ◆泥板书中记录的数学（两河流域）。 ◆中国《周髀算经》、勾股定理（赵爽的图）。 ◆十进位值制的发展。 2. 古希腊数学 ◆毕达哥拉斯多边形数，从勾股定理到勾股数，不可公度问题。 ◆欧几里得与《几何原本》，演绎逻辑系统，第五公设问题，尺规作图，公理化思想对近代科学的深远影响。 ◆阿基米德的工作：求积法。 3. 中国古代数学瑰宝 ◆《九章算术》中的数学（方程术、加减消元法、正负数）。 ◆大衍求一术（孙子定理）。 ◆中国古代数学家介绍。 4. 平面解析几何的产生——数与形的结合 ◆函数与曲线。 ◆笛卡儿方法论的意义。 5. 微积分的产生——划时代的成就 6. 近代数学两巨星——欧拉与高斯 ◆欧拉的数学直觉。 ◆高斯时代的特点（数学严密化）。 7. 千古谜题——伽罗瓦的解答 ◆从阿贝尔到伽罗瓦（一个中数学家）。 ◆几何作图三大难题。 ◆近世代数的产生。 8. 康托的集合论——对无限的思考 ◆无限集合与势。 ◆罗素悖论与数学基础（哥德尔不完备定理）。 9. 随机思想的发展 ◆概率论溯源。 ◆近代统计学的缘起。 10. 算法思想的历程 ◆算法的历史背景。 ◆计算机科学中的算法。 11. 中国现代数学的发展 ◆现代中国数学家奋发拼搏，赶超世界数学先进水平的光辉历程。 说明与建议 1.本专题不必追求数学发展历史的系统性和完整性，通过生动活泼的语言与喜闻乐见的事例呈现内容，使体会数学的重要思想和发展轨迹。本专题的内容安排可以采取多种形式，既可以由古到今，追寻数学发展的历史；也可以从现实的、熟悉的数学问题出发，追根溯源，回眸数学发展中的重要事件和人物。例如，可以从“我们现在有多少种记数方法”出发，追溯历史上的记数法（巴比伦的60进制、英国的12进制、计算机的二进制以及10进制，二进制与中国的八卦）。又如，可以从熟悉的π入手，漫谈祖冲之的成果，用随机数方法计算π，介绍古希腊和中国古代如何对待无理数、目前计算机可以算π到小数点后多少位等问题。 2. 以上所提供的内容仅仅是一种选择，本专题内容的安排可以根据具体情况，作适当调整。内容应突出所蕴涵的思想性，突出数学发展的轨迹，突出数学家刻苦钻研的科学精神。内容的选择要符合的接受水平，呈现方式应图文并茂、丰富多彩，引起的兴趣。 3. 教学方式应灵活多样，可采取讲故事、讨论交流、查阅资料、撰写报告等方式进行。教师应鼓励对数学发展的历史轨迹。自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究报告。
3、1. 初等数论的有关知识 （1）了解整除和同余，模m的完全同余系和简化剩余系，欧拉定理和费马小定理，大数分解问题。 （2）了解欧拉函数的定义和计算公式，威尔逊定理及在素数判别中的应用，原根与指数，模p的原根存在性，离散对数问题。 2. 数论在信息安全中的应用 （1）了解通讯安全中的有关概念（如明文、密文、密钥）和通讯安全中的基本问题（如保密、数字签名、密钥管理、分配和共享）。 （2）了解古典密码的一个例子：流密码（利用模m同余方式）。 （3）理解公钥体制（单向函数概念），以及加密和数字签名的方法（基于大数分解的RSA方案）。 （4）理解离散对数在密钥交换和分配中的应用——棣弗－赫尔曼（Diffi-Hellman）方案。 （5）理解离散对数在加密和数字签名中的应用——盖莫尔（ElGamal）算法。 （6）了解拉格朗日插值公式在密钥共享中的应用。
4、1. 通过丰富的实际问题（如测量、航空、卫星定位），体会引入球面几何知识的必要性。 2. 通过球面图形与平面图形的比较，感受球面几何与欧氏平面几何的异同。例如，球面上的大圆相当于平面上的直线，球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分，球幂定理。 3.体会球面具有类似平面的对称性质。 4. 了解球面上的一些基本图形：大圆、小圆、球面角、球面二角形（月形）、极与赤道、球面三角形、球面三角形的极对称三角形（简称球极三角形）。 5. 通过球面几何与欧氏平面几何比较，探索欧氏平面图形的哪些性质能推广到球面上，并说明理由，由此理解球面三角形的全等定理s.s.s，s.a.s，a.s.a。 6. 理解单位球面三角形的面积公式（ ），由此体会球面三角形内角和大于180°。 7. 了解球面三角形全等的a.a.a定理。 8. 利用球面三角形面积公式证明欧拉公式，体验球面几何与拓扑学的关系。 9. 利用向量的叉乘（向量积）探索并证明球面余弦定理（ ）和球面上的勾股定理（即当 时的球面余弦定理），能从球面的余弦定理推导出球面的正弦定理 。 10. 体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面，球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。 11. 初步了解另一种非欧几何模型——庞加莱模型。
5、1. 通过丰富的对称图形，体验日常生活和现实世界中存在着大量对称现象与总的特点。 2. 了解刚体运动的基本性质和规律。 3. 通过分析图形的不同对称性和刚体运动，寻求刻画不同图形对称性的思想，逐步形成图形对称变换的概念。 4.找出其所有对称变换。 5.逐步形成对称变换合成的概念，理解对称变换合成的封闭性。 6.通过操作认识对称变换满足结合律。 7.通过操作，理解恒等变换的概念，逆变换的概念及其性质，针对具体的图形能找出一个对称变换的逆变换。 8.建立变换群的概念，并初步了解抽象群的概念。 9. 能借助几何直观求出一些几何图形和具有一定对称性的简单化学分子模型的对称群。 10.了解一种群的表示方法——乘法表示法。 11.了解一种由较为简单群构造出较为复杂群的方法——直积。 12. 了解群论在现实生活中的重要应用，如晶体分类定理。 13. 考察其他形式的对称变换，如代数式。通过二次、三次方程的求解过程，了解代数方程根的对称群的含义，并了解伽罗瓦利用群论方法解决方程根式解问题的科学史实，感受群论在现代数学中的重大作用。
6、选修3－5 欧拉公式与闭曲面分类 1. 复习已学过的变换，并使用它们对平面图形分类 （1）复习平移、旋转、平面运动、反射、全等、位似、伸缩、相似变换，以及对平面图形分类。 （2）在上述变换下，探索什么几何性质是不变的。 （3）体会变换的一些基本特征：1－1对应，连续。 2. 欧拉公式 （1）通过探索发现欧拉公式的过程，理解欧拉公式。 （2）理解欧拉公式的拓扑证明。 （3）使用欧拉公式解决一些问题（如探索正多面体的个数）。 （4）探索非欧拉多面形的面数、棱数、顶点数的关系。 3. 理解曲面三角剖分的概念。 4. 会对一些曲面进行三角剖分，并能计算它们的欧拉示性数。 5. 了解拓扑变换的直观含义。 6. 知道一些拓扑不变量，并能用它们对一些曲线、闭曲面进行分类，了解一些曲线、闭曲面的分类结果。 7. 了解拓扑思想的一些应用（如平面布线问题、一笔画问题、布劳威尔不动点定理与经济稳定点问题、四色问题）。
7、选修3－5 三等分角与数域扩充 1. 了解古希腊三大几何作图问题，通过三等分角问题了解它们的正确提法。在不限于圆规和直尺的前提下，了解三等分角的几种不同作法。 2. 理解解决三等分角问题的基本思路——刻画尺规作图的范围。 3. 给定线段a，b，会用尺规作图方法作出长为 的线段。 4. 对于给定的任何已知线段，若把它作为单位长，则任一（正）有理数是可作图的（即仅用圆规和直尺可作出该有理数长的线段）。 5. 通过有理数对加、减、乘、除运算的封闭性，了解有理数域和一般数域的概念。 6. 设F是一数域， 且 。证明：集合 也是一个数域，且F是集合 的子集合。了解扩域的概念。 7. 给出一些数域、扩域的具体实例。 8. 给定长为a的线段，会用尺规作图方法作出长为 的线段。 9. 学会把三等分角问题代数化。 10. 证明：不能用尺规作图的方法三等分60度角。 11. 用上述方法讨论“倍方问题”或“用圆规和直尺不可能作出正七边形”。 12. 体会解决古希腊三大作图问题的思想方法和它在人们思想认识上的作用。 13. 了解复数乘法的棣莫弗公式，会用代数方法讨论正十七边形是可作图的（即可用尺规作图方法作出正十七边形）
8、1. 复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。 2. 证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。 3. 证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。 4. 了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）。 5. 通过观察平面截圆锥面的情境，体会下面定理： 定理 在空间中，取直线 为轴，直线 与 相交于O点，其夹角为α， 围绕 旋转得到以O为顶点， 为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴 交角为β（π与 平行，记住β＝0），则： （1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆； （2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线； （3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。 6. 利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明上述定理（1）情况。 7.试证明以下结果：①在6中，一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π'；②如果平面π与平面π'的交线为m，在5（1）中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e。（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率。） 8. 探索定理中（3）的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果。
9、1. 引入二阶矩阵 2. 二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换 （1）以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。 （2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即证明 （3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。 3. 变换的复合——二阶方阵的乘法 （1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。 （2）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。 （3）验证二阶方阵乘法满足结合律。 （4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。 4. 逆矩阵与二阶行列式 （1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。 （2）会证明逆矩阵的唯一性和 等简单性质，并了解其在变换中的意义。 （3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。 5. 二阶矩阵与二元一次方程组 （1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。 （2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。 （3）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。 6. 变换的不变量 （1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。 （2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。 7. 矩阵的应用 （1）利用矩阵A的特征值、特征向量给出 简单的表示，并能用它来解决问题。 （2）初步了解三阶或高阶矩阵。 （3）了解矩阵的应用。
10、1. 数列的差分 （1）通过一些具体实例，理解数列差分的概念。 （2）理解数列的一、二阶差分以及它们对描述数列变化的意义，结合数列（作为函数）的图象，了解差分爵奏笆棚与数列的增减、极值、数列图象的凹凸的关系。 2. 一阶线性差分方程 （1）通过一些具体实例，体会方程 是十分有用的数学模型。 （2）理解方程 中，当b＝0（即方程为齐次方程）时，其解为等比数列；当k＝1（即差分为常数）时，其解为等差数列。 （3）认识方程 的通解、特解，了解方程的解与相应的齐次方程 通解的关系；能给出方程 的通解公式。 3. （二元）一阶线性差分方程组 （1）通过一些实例，认识一阶线性差分方程组是描述现实世界的一个重要模型。 （2）了解一阶线性差分方程组的通解、特解与其相应齐次方程组通解的关系。 （3）给定初值，会用迭代法求一阶线性差分方程组的解；能写出求解的算法框图。 （4）对给定的具体方程组，能初步讨论当n→∞时，解（数列）的变化趋势（收敛、发散、周期）。 4. 通过具体实例（如种群增长等），体会方程 是十分有用的数学模型。借助计算工具，用迭代法分别对k取一些特殊值（如0＜k≤1，1＜k≤3，k＝3.4，k＝3.55，k＝3.7）的情形，讨论 的变化，初步了解非线性问题的复杂性。 5. 应用 （1）学会用差分方程和差分方程组解决一些简单的实际问题。 （2）初步体会连续变量离散化的思想，能用它来讨论一些简单的问题。1. 坐标系 （1）回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用。 （2）通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 （3）能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 （4）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。 （5）借助具体实例（如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等）了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别。 2. 参数方程 （1）通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。 （2）分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。 （3）举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性。 （4）借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线）、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线），了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程。 （5）通过阅读材料，了解其他摆线（变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线）的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例（例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿轮，收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车门）；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用。
11、1. 回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。 2. 理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1） ； （2） ； （3）讵畿缤耒会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： 3. 认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义。 （1）证明：柯西不等式向量形式： 。 （2）证明： 。 （3）证明： （通常称作平面三角不等式）。 4. 用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况： 。 5. 用向量递归方法讨论排序不等式。 6. 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。 7. 会用数学归纳法证明贝努利不等式： （ ，n为大于1的正整数）。 了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。 8. 会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。 9. 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。 坐标向量相乘:向量A(X,Y)向量B(Z,K)求A乘B → A·B=XZ+YK1.认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。体会剩余类运算与传统的数的运算的异同（会出现零因子）。 2. 理解整除、因数和素数的概念，了解确定素数的方法（筛法），知道素数有无穷多。 3. 了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法。 4.探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a能整除bc，且a，b互素，则a能整除c。探索公因数和公倍数的性质。了解算术基本定理。 5.理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解一次不定方程。并尝试写出算法程序框图，在条件允许的情况下，可上机实现。 6. 通过实例（如韩信点兵），理解一次同余方程组模型。 7. 理解大衍求一术和孙子定理的证明。 8. 理解费马小定理和欧拉定理及其证明。 费马小定理：当m是素数，a、m互素时， 。 欧拉定理：当a、m互素时， ，其中 是 中与m互素的数的个数。 9. 了解数论在密码中的应用——公开密钥。1.感受在现实生活中存在着大量的优选问题。 2.掌握分数法、0.618法及其适用范围，可以利用计算机（或计算器）进行试验，并能思考和尝试运用这些方法解决一些实际问题，体会优选的思想方法。 3. 了解斐波那契数列｛ ｝，理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明，通过连分数知道 和黄金分割的关系。 4.知道对分法、爬山法、分批试验法，以及目标函数为多峰情况下的处理方法。 5.了解多因素优选问题，了解处理双因素问题的一些优选方法，进一步体会优选的思想方法。 6.感受在现实生活中存在着大量的试验设计问题。 7.理解运用正交试验设计方法解决简单问题的过程，了解正交试验的思想和方法，并能运用这种方法思考和解决一些简单的实际问题。
12、1. 统筹方法 （1）通过实例了解统筹问题的思想及其应用的广泛性。 （2）通过实例理解统筹法中的基本概念。 （3）通过实例掌握绘制统筹图的方法。 （4）学会计算统筹图中的参数：事项最早开始时间和最迟到达时间，工序的时差。 （5）学会寻找统筹图的关键路，掌握寻找关键路的算法，理解关键路的重要性。 （6）会用统筹方法分析和处理简单的实际问题。 2. 图论初步 （1）了解图的基本概念和图在刻画实际问题中关系的作用。 （2）了解图的生成树，掌握求图的生成树和最小生成树的算法。 （3）了解图的最短路问题，掌握求图的最短路的算法。 （4）了解一些图论的其他问题，并知道算法的复杂性。1. 从日常生活及经济活动中的实例分析，形成重视风险的意识、理解风险决策的必要性和重要性，理解风险决策的概念。 2.理解损益函数与损益矩阵，探索决策的途径与方法，理解决策结论的意义。 3. 学会用决策树表示需要决策问题的有关信息，能用反推决策树的方法进行决策。 4.理解风险决策灵敏度分析的意义，会进行决策的灵敏度分析。 5.了解马尔可夫型决策及其决策方法。 1. 通过开关电路知道电路和电路的两种状态以及它们的数学表示。知道什么是两个电路的并联和串联，什么是逆反电路，以及它们的状态是怎样确定的。 2. 通过对开关电路的分析，认识新电路的状态是由原电路的状态通过运算形成的。掌握状态和状态的运算两个概念。 3. 通过状态和状态的运算，抽象出布尔代数、电路函数和电路多项式的概念。感悟从实际问题抽象、概括为数学问题的过程和用数学理论解决实际问题的思想方法。 4. 理解任意电路都可以用一个电路函数来表示，而电路函数又都可以用一个电路多项式实现。 5. 通过命题演算的学习，了解什么是命题和命题的取值。认识什么是两个命题的“或命题”和“且命题”，什么是一个命题的“非命题”（“否定命题”），这些新命题的取值是怎样确定的。 6. 比较开关电路与命题演算的关系，并能尝试用简单的例子说明。比较布尔代数与有理数系中的运算，考虑它们之间的共同点、不同点和相似之处。
