【微分几何】圆环面上的迪潘指标线可视化

本文，绘制圆环面上不同的点的迪潘指标线。下图中的蓝色曲线，就代表了圆环面上不同点的迪潘指标线（位于切平面上）。

工具/原料

电脑

Mathematica

算法介绍

1、圆环面的参数方旯皱镢涛程是：r = {(2 + Cos[u]) Cos[v], (2 + Cos[u]) Sin[v], Sin[u]};为了便于计算迪潘指标线，先做一些准备工作。

2、再计算曲面的第二基本量：l = ruu.nn // FullSimplifym = ruv.艘绒庳焰nn // FullSimplifyn = rvv.nn // FullSimplify

3、这样，就可以写出迪潘依宏氽墓指标线的标准方程式。如果以圆环面上的某个点A为原点、过点A的u曲线和v曲线的切线为x轴和y轴，那么迪潘指标线就在这个点的切平面上，其方程式是：|l*x^2+2*m*x*y+n*y^2|=1这容易求出其极坐标方程和参数方程：Solve[l*x^2 + 2*m*x*y + n*y^2 == 1 /. {x -> rr Cos[t], y -> rr Sin[t]}, rr] // FullSimplify

4、再经过旋转和平移操作，就可以得到原坐标系下，迪潘指标线的参数方程。

可视化

1、若A点在圆环面上的曲纹坐标是{0,0}，那么其直角坐标是{3, 0, 0}，此时的迪潘指标线如下图的蓝色椭圆。

2、下面更换A的曲纹坐标，u的值改变，v的值保持为0。A={Pi/2,0}此时的迪潘指标线是两条平行线。

3、A={Pi,0}此时迪潘指标线是双曲线。

4、随着u的变化，考察迪潘指标线的变化。