求无理数x的立方根近似值的方法

无理数三次方根：数学表达式为³√x，其中x为不能直接开立方的实数。 本例介绍形如³√9，³√10，³√11，…, ³√28，³√29，….等不能直接立方根的无理数的近似值。

工具/原料

三次立方根的知识

近似数计算方法

一、实例分析

1、（一）求³√9的近似值有：（³√9-³√8）/(9-8)<=（1/3）*[1/³√8^2]即：³√9-2<=(1/3)*(1/4)³√9-2<=1/12所以：³√9≈2+（1/12）=2.08

2、（二）求³√10的近似值有：（³√10-³√8）/(10-8)<= （1/3）*[1/³√8^2]即：³√10-2<=2*(1/3)*(1/4)³√10-2<=2*(1/3)*(1/4)所以：³√10≈2+（1/6）=2.17.

3、（三）求³√11的近似值有：（³√11-³√8）/(11-8)<= （1/3）*[1/³√8^2]即：³√11-2<=3*(1/3)*(1/4)³√11-2<=3*(1/3)*(1/4)所以：³√11≈2+（1/4）=2.25.

二、近似值规律归纳

1、 设无理数三次方根为³√x,比它小且能开立方的最近的一个数为³√a，则其近似值可以用以下表达式表示：(³√x-³√a)/(x-a)<= （1/3）*[1/³√a^2]³√x<=³√a+（1/3）*[1/³√a^2]³√x<=(x+2a)/(3³√a^2)即：³√x≈(x+2a)/(3³√a^2).

三、计算³√28、³√50的近似值

1、求³√28的近似值。 解：根据上述表达式，x=28，a=27，则：³√28<=(28+2*27)/ (3³√27^2)³√28≈82/27=3.04.通过excel表格计算³√28≈3.037，通过比较，近似值很接近。

2、求³√50的近似值。 解：根据上述表达式，x=50，a=27，则：³√50<=(50+2*27)/ (3³√27^2)³√50≈104/27=3.852.通过excel表格计算³√50≈3.684，通过比较，近似值较为接近。

四、计算³√65、³√66、³√93的近似值

1、求³√65的近似值。 解：根据上述表达式，x=65，a=64，则：³√65<=(65+2*64)/ (3³√64^2)³√65≈193/48=4.021.通过excel表格计算³√65≈4.021，通过比较，近似值很接近。

2、求³√66的近似值。 解：根据上述表达式，x=66，a=64，则：³√66<=(66+2*64)/ (3³√64^2)³√66≈194/48=4.042.通过excel表格计算³√66≈4.041，通过比较，近似值比较接近。

3、求³√93的近似值。 解：根据上述表达式，x=93，a=64，则：³√93<=(93+2*64)/ (3³√64^2)³√93≈221/48=4.604.通过excel表格计算³√93≈4.531，通过比较，近似值较为接近。

五、计算³√1001、³√1071、³√1167的近似值

1、求³√1001的近似值。 解：根据上述釉涑杵抑表达式，x=1001，a=1000，则：³√1001<=(1001+2*1000)/ (3³√1000炷翁壳唏^2)³√1001≈3001/300=10.003通过计算器计算³√1001≈10.003，通过比较，近似值很接近。

2、求³√1071的近似值。 解：根据上述釉涑杵抑表达式，x=1071，a=1000，则：³√1071<=(1071+2*1000)/ (3³√1000炷翁壳唏^2)³√1071≈3071/300=10.237通过计算器计算³√1071≈10.231，通过比较，近似值比较接近。

3、求³√1167的近似值。 解：根据上述釉涑杵抑表达式，x=1167，a=1000，则：³√1167<=(1167+2*1000)/ (3³√1000炷翁壳唏^2)³√1167≈3167/300=10.557通过计算器计算³√1167≈10.528，通过比较，近似值较接近。