利用单调有界准则证明数列｛Xn｝收敛，并求其极限

如下：

首先，由X1=a>0及Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)，得所有Xn&爿讥旌护gt;0(n为自然数)。（由这个公式，可知Xn+1与Xn符合相同，而X1大于0，因此所有{Xn}中元素均大于0。这个是利用下面不等式的基础）
其次证明有界：Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)>=1/2*2*√(Xn*1/Xn)=1( 利用a+b>=2√ab)。

因此Xn>=1(n>1)由单调有输准则，数列{Xn}收敛，由上可知，其极限=1。

任一项的绝对值都小于等于某一 正数的数列。有界数列是指 数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。假设存在定值a，任意n有{An（n为下角标，下同）=B，称数列{An}有下界B，如果同时存在A、B时的数列{An}的值在区间[A,B]内，数列有界。

单调有界定理：若数列{an}递增有上界（递减有下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。具体来说，如果一个数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列收敛。