【平面几何】两角共用一条角平分线模型

1、模型如下图所示：E是∠ABC的角平分线BD上一点，且不与B和D重合，直线AE和CD交于F，直线CE和AD交于G，那么BD也是∠FBG的角平分线。

2、这个模型，当∠ABC是平角的时候，就变成了与三角形有关的一个几何问题：DB⊥AC于B，E是直线BD上且不与B和D重合，直线AE和CD交于F，直线CE和AD交于G，那么BD也是∠FBG的角平分线。

3、我们来证明步骤2的模型。过D作直线AB的平行线，分别与BF、BG交于M、N。

4、因为MD//BC，所以MD/BC=DF/CF。依据是平行线截线段成比例。

5、同样的，有DN/AB=DG/AG。

6、根据【塞瓦定理】，可知(DF*CB*AG)=(DG*AB*CF)；把步骤4和5的结论，代入到上式，可以发现，MD=DN。

7、注意到BD⊥AC，AC//MN，所以BD⊥MN；又因为MD=BD，所以，BD是线段怡觎现喾MN的垂直平分线；所以，BD平分∠MBN，也就是平分∠FBG。至此，步骤2里面的模型，就证明出来了。