如何更加好的学习任意角的三角函数

教学目的：

1.理解并掌握任意角三角函数的定义.

2.理解三姹州比蹼角函数是以实数为自变量的函数.

3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.

教学重点：任意角三角函数的

定义.

教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：通过三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一般关系的理解.www.baijialekeji.com通过对定义的剖析，使学生对正弦、余弦、正切函数的定义域有比较深刻的认识，达到突破难点之目的. 使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解.

教学过程：

一、复习引入：

1.在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数:

2.前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数.

二、讲解新课：

对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.

1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

则P与原点的距离

2．比值叫做的正弦记作：

比值叫做的余弦记作：

比值叫做的正切 记作：

比值叫做的余切记作：

比值叫做的正割记作：

比值叫做的余割记作：

根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角，上述六个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan、sec无意义；当角的终边在横轴上时，即＝ｋπ（ｋ∈Z）时，终边上任意一点P的纵坐标ｙ都为0，所以cot、csc无意义，除此之外，对于确定的角，上面的六个比值都是惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.

以上六种函数，统称为三角函数.

3.突出探究的几个问题：

①角是“任意角”，当b=2kp+a(kÎZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用

③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.

⑤定义域：对于正弦函数，因为ｒ＞0，所以恒有意义，即取任意实数，恒有意义，也就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数，因为x＝0时，无意义，即tan无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时，才有x＝0，所以当的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tan恒有意义，所以正切函数的定义域是.从而有

4.注意:

(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.

(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.

(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.

(4)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关.

(5)比值只与角的大小有关.

(6)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:

任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的. 即正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离， 正切函数值是纵坐标比横坐标，余切函数值是横坐标比纵坐标，正割函数值是距离比横坐标，余割函数值是距离比纵坐标.

(7)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.

三、讲解范例：

例1已知角的终边经过点P(2，－3)(如图)，求的六个三角函数值.

解：∵x＝2，ｙ＝－3

∴

于是

例2求下列各角的六个三角函数值.

(1)0 (2)π (3) (4)

解：(1)因为当＝0时，x＝ｒ，ｙ＝0，所以

sin0=0 cos0=1 tan0=0 cot0不存在

sec0=1 csc0不存在

(2)因为当＝π时，x＝－ｒ，ｙ＝0，所以

sinπ＝0 cosπ＝－1 tanπ＝0 cotπ不存在

secπ＝－1 cscπ不存在

(3)因为当时，x＝0，ｙ＝－ｒ，所以

不存在

不存在

(4)当a=时 ,所以

sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0

sec不存在 csc=1

例3填表：

a 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

弧度

例4 ⑴ 已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值

⑵已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a¹0)求2sina+cosa的值

解：⑴由定义 ： sina=- cosa=∴2sina+cosa=-

⑵若则sina=- cosa=∴2sina+cosa=-

若则sina= cosa=-∴2sina+cosa=

例5求函数的值域

解： 定义域：cosx¹0 ∴x的终边不在x轴上

又∵tanx¹0 ∴x的终边不在y轴上

当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2

当x是第Ⅱ象限角时,|cosx|=-cosx |tanx|=-tanx ∴y=-2

当x是第Ⅲ象限角时, |cosx|=-cosx |tanx|=tanx ∴y=0

当x是第Ⅳ象限角时, |cosx|=cosx |tanx|=-tanx ∴y=0

四、课堂练习：

1.若点P(－3，ｙ)是角α终边上一点，且，则ｙ的值是.答案：

2.角的终边上一个点P的坐标为(5a,-12a)(a≠0)，求sin+2cos的值.

解：依题意得：x=5a,y=-12a,

∴

(1)当a>0时，角α是第四象限角，则

,

∴sin+2cos=-;

(2)当a<0时，角是第二象限角，则

.

∴cos+2cos=.

五、小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到.

六、课后作业：课本 P习题

已知角θ的终边上一点P的坐标是（x，–2）(x≠0)，且，求sinθ和tanθ的值.

分析：，又，即ｒx＝3x

由于x≠0，∴ｒ＝3 ∴x2＋4＝9 x2＝5，x＝±.

当x＝时，P点的坐标是（，－2）.

当x＝－时，P点的坐标是（－，－2）

.

答案：当x=时，

当x=–时，

七.课后记:

课题：4.3 任意角的三角函数（二）

教学目的：

1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.

2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.

教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等

教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

则P与原点的距离

2.比值叫做的正弦记作：

比值叫做的余弦记作：

比值叫做的正切记作：

比值叫做的余切记作：

比值叫做的正割记作：

比值叫做的余割记作：

以上六种函数，统称为三角函数.

3.突出探究的几个问题：

①角是“任意角”，当b=2kp+a(kÎZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用

③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.

⑤定义域：

R

R

4.注意:

(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.

(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.

(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.

(4)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关.

(5)比值只与角的大小有关.

二、讲解新课：

1. 三角函数在各象限内的符号规律：

第一象限：

∴sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0

第二象限：

∴sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0

第三象限：

∴sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0

第四象限：

∴sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0

记忆法则：

第一象限全为正,二正三切四余弦.

为正全正

为正为正

2.终边相同的角的同一三角函数值相等

例如390°和-330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即

sin390°=sin30° cos390°=cos30°

sin(-330°)=sin30°cos(-330°)=cos30°

诱导公式一（其中）:用弧度制可写成

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．

三、讲解范例：

例1确定下列三角函数值的符号

(1)cos250° （2）（3）tan（－672°） (4)

解：(1)∵250°是第三象限角∴cos250°＜0

(2)∵是第四象限角，∴

(3)tan（－672°）＝tan（48°－2×360°）＝tan48°

而48°是第一象限角，∴tan（－672°）＞0

(4)

而是第四象限角，∴.

例2求证角θ为第三象限角的充分必要条件是

证明：必要性：∵θ是第三象限角，

∴

充分性：∵sinθ＜0，

∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上

∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.

∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.

∴θ为第三象限角.

例3 求下列三角函数的值

(1)sin1480°10′ (2)（3）.

解:(1)sin1480°10′＝sin（40°10′＋4×360°）

＝Sin40°10′＝0.6451

(2)

(3)

例4求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°．

解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)

+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tg(360°+135°)．

=sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tg135°

=-1=0

四、课堂练习：

1.确定下列各式的符号

(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5

分析:由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号.

解(1)∵100°是第二象限的角,240°是第三象限的角.

∴sin100°＞0,cos240°＜0,于是有sin100°·cos240°＜0.

(2)∵∴5是第四象限的角

∴sin5＜0,tan5＜0,于是有sin5+tan5＜0.

2. .x取什么值时,有意义?

分析：因为正弦、余弦函数的定义域为R，故只要考虑正切函数的定义域和分式的分母不能为零.

解:由题意得解得:

即:

所以,当时，有意义.

3．若三角形的两内角a，b满足sinacosb0，则此三角形必为……（B）

A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能

4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（B）

A：sina+cosa0 B：tana-sina0

C：cosa-cota0 D：cotacsca0

5．已知q是第三象限角且，问是第几象限角？

解：∵

∴则是第二或第四象限角

又∵则是第二或第三象限角

∴必为第二象限角

6．已知，则q为第几象限角？

解：由∴sin2q0

∴2kp2q2kp+p∴kpqkp+

∴q为第一或第三象限角

五、小结本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式，两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础.

六、课后作业：

1.确定下列三角函数值符号：

2.化简.

解法一：(定义法)

设点P(x,y)是角α终边上的一点，且|OP|=r,则将sinα=,cosα=,tanα=,cotα=代入得：

原式=

解法二：(化弦法)

原式=

解法三：(换元法)

设cos2α=a,则sin2α=1-a,tan2α=,代入得

原式

评注：“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义、换元方法，使得三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.

七、板书设计（略）

八、课后记：

已知sin3α+cos3α=1,求下列各式的值：

(1)sinα+cosα；(2)sin4α+cos4α

分析：对已知式的左边利用代数公式进行变形，使原式转化为关于sinα+cosα的方程，然后求解.

(1)解法一：∵(sinα+cosα)3

=sin3α+3sin2αcosα+3sinαcos2α+cos3α

=(sin3α+cos3α)+3(1-cos2α)cosα+3(1-sin2α)sinα

=1+3cosα-3cos3α+3sinα-3sin3α

=1+3(sinα+cosα)-3(sin3α+cos3α)

=3(sinα+cosα)-2.

∴(sinα+cosα)3-3(sinα+cosα)+2=0.

令sinα+cosα=t,则t3-3t+2=0(t-1)2(t+2)=0.

∴t=1或t=-2

即sinα+cosα=1或sinα+cosα=-2(舍去).

解法二：∵sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=(sinα+cosα)(1-sinαcosα).

∴(sinα+cosα)(1-sinαcosα)=1.

注意到sinαcosα可用sinα+cosα表示，并令sinα+cosα=t,则sinαcosα=,故上式化为t(1-)=1t3-3t+2=0.(下同解法一).

(2)解：∵sinα+cosα=1，∴(sinα+cosα)2=1sinαcosα=0.

故sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-2sin2αcos2α=1.

评注：对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.