S为非空有下界数集，证明infS=ξ∈S是ξ=minS的充要条件

证明：

infS=ξ∈S是ξ=minS的充分条件：

因为S为非空有下界数集，则所有x∈S，ξ≦x。又已知infS=ξ，则可得ξ∈S，所以ξ=minS。

infS=ξ∈S是ξ=minS的必要条件：

因为S为非空有下界数集，则所有x∈S，ξ≦x。又已知ξ=minS，，则可得infS=ξ∈S。

性质：

对∀x∈S，有η≥x，即η是S的上界；对a<η,存在x0∈S，使得x0>a，即η是S的最小上界（least upper bound），则称η为数集S的上确界。

对∀x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界；对β>ξ,x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界（greatest lower bound），则称ξ为数集的S的下确界。