三次和函数y=4x^3+6x^2+x的图像示意图

1、函数为幂函数的四则运算，自变量x可以取全体实数。

2、定义域是指该函数的有效范围，函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。

3、计算求出函数的一阶导数，结合函数的定义域求出函数驻点，由一阶导数的正蚩距粼讨负，判断函数的单调性，并计算出函数单调区间。

4、计算函数的二阶导数，得到函数的拐点，判断函数的凸凹性性，并得到函数的凸凹区间。

5、 根据拐点判断函数二阶导数的符号，即可判断函数的凸凹性，进而求解函数的凸凹区间。

6、判断函数在端点处的极限。

7、函数上部分点解析如下表所示，横坐标和纵坐标。

8、按照以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，以及函数的单调区间和凸凹区间，函数的示意图如下：