光学中的旋转对称非球面表达形式

在光学设计、加工、检测中，经常接触到非球面。非球面在像差矫正方面与传统球面相比有较士候眨塄大优势，光学设计者为了缩小光学系统外形尺寸，减轻系统重量，提高犴鲻嗵聒光学性能，改善成像质量等目的，会在系统中引入非球面。本经验总结了常用于光学中的非球面表达形式，并针对常用的二次曲面进行了专门讲解。

工具/原料

基本的解析几何知识

基本的代数式运算

常用的非球面表达形式

1、第一种旋转对称非球面表达形式如下所示，其中y为入射光在非球面上的高度，x为非球面旋转轴。当非球面为二次曲线时，等式右侧只需要前两项即可精确表达曲线。

2、第二种旋转对称非球面表达形式如下所示，与第一种形式不同的是，该表达式以y为自变量，x为因变量。除了抛物线外，一般来说，非球面采用这一形式需要无穷项才能精确表达曲线。

3、对于一般非球面，还有另一种表达形式如下图所示，其中K为二次曲线系数，且K=-e^2，c为顶点曲率，为顶点曲率半径的倒数。

二次曲面对应的两种表达形式

1、特别地，当用第一种表达形式表达曲面时，这两个系数明显常挢傣捅地展示了非球面的特征参量，其中R为顶点处曲率半劐孕瞬腊径，e为离心率。当e^2＜0时方程代表扁椭圆；当e^2=0时方程代表圆；当0<e^2＜1时方程代表椭圆；当e^2=1时方程代表抛物线；当e^2>1时方程代表双曲线。

2、在解析几何中，常见的椭圆/双曲线和抛物线形式如下，其中的a^2，b^2及p可根据对上式的配方得到。

3、二次曲线的第二种表达形式可通过下图所示方式得到：(非抛物面)先求解一元二次方程得到x的精确表达式，再根据泰勒级数展开得到该曲线的第二种表达形式，具体形式如第二张图所示；(抛物面)将2R直接反除即可得到对应的表达形式。